5 שאלות לדוגמה

כדי להבין את התנהגות המתח על הסליל, ננתח את שלבי הפעולה של המעגל מרגע סגירת המעגל הימני.

ניתוח פיזיקלי של המעגל

ברגע המעבר (נגדיר כ-$t=0$), הקבל טעון במתח $V$ ומתחיל להתפרק דרך הסליל. במעגל אידיאלי (ללא התנגדות), מתרחשת תופעה של Oscillation (תנודה):

• פריקת הקבל: המטען עוזב את לוחות הקבל ויוצר זרם דרך הסליל. האנרגיה החשמלית האגורה בקבל הופכת לאנרגיה מגנטית בסליל.

• טעינה חוזרת: לאחר שהקבל מתרוקן, הסליל "מנסה" לשמור על המשכיות הזרם, ובכך טוען את הקבל בקוטביות הפוכה.

• מחזוריות: התהליך חוזר על עצמו אינספור פעמים בצורה מחזורית.

משוואת המתח

המעגל מתנהג כמתנד הרמוני פשוט. תדירות התנודה (Resonance Frequency) מוגדרת על ידי: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

המתח על הסליל ($V_L$) שווה למתח על הקבל בכל רגע נתון במעגל מקבילי זה, והוא יתואר על ידי פונקציית קוסינוס (מכיוון שב-$t=0$ המתח הוא מקסימלי): $V_L(t) = V \cdot \cos(\omega_0 t)$

תיאור הגרף

הגרף שמתקבל הוא גרף של גל סינוסואידלי (קוסינוס) בעל התכונות הבאות:

• נקודת התחלה: ב-$t=0$, המתח מתחיל מהערך המקסימלי $V$.

• אמפליטודה (תנופה): המתח ינוע בין $V$ לבין $-V$.

• דעיכה: במעגל אידיאלי כפי שמתואר, אין רכיב התנגדותי ($R$), ולכן התנודות אינן דועכות ונמשכות לנצח באותה אמפליטודה.

ניתוח המערכת וזמני התפשטות

במעגל של שלושה דלגלגים בטור, המידע מתקדם צעד אחד ימינה בכל עליית שעון:

• בעליית השעון ה-3: המידע החדש ('1') נדגם בכניסת DFF1. בסוף מחזור זה, מוצא DFF1 יהיה '1'.

• בעליית השעון ה-4: המידע עובר מ-DFF1 ל-DFF2.

• בעליית השעון ה-5: המידע עובר מ-DFF2 ל-DFF3 ומופיע במוצא הסופי.

פתרון סעיף א': מצב המוצא לאחר 3 מחזורים

על פי הנתון, הכניסה משתנה ל-'1' רק בעליית השעון השלישית. המשמעות היא שבמהלך שני המחזורים הראשונים נדגם '0', ורק ברגע המעבר (עליית שעון 3) המידע נכנס לדלגלג הראשון בשרשרת.

מכיוון שנדרשים 3 מחזורי שעון מרגע דגימת המידע כדי שהוא יגיע למוצא של DFF3, הרי שלאחר 3 מחזורי שעון מתחילת הבדיקה, הערך במוצא יהיה עדיין '0'. המידע רק החל את דרכו בשרשרת.

פתרון סעיף ב': הפרת תנאי Hold

אם המידע מגיע למוצא לאחר 2 מחזורים בלבד מרגע השינוי (במקום 3), המשמעות היא שהמידע "רץ" מהר מדי בתוך המעגל.

מצב זה מעיד על הפרת תנאי Hold Time.

הסבר: זמן Hold מבטיח שהמידע יישאר יציב לאחר עליית השעון. אם תנאי זה מופר, המידע שמשתנה בכניסה יכול "לחלחל" דרך הדלגלג באותה עליית שעון שבה הוא השתנה, ובכך הוא למעשה מדלג על שלב בשרשרת ומגיע למוצא מוקדם מהצפוי.

פתרון סעיף ג': הפרת תנאי Setup

אם המידע מגיע למוצא לאחר 4 מחזורים מרגע השינוי (במקום 3), המשמעות היא שהדלגלג הראשון "פספס" את עליית השעון השלישית ולא דגם את ה-'1' בזמן.

מצב זה מעיד על הפרת תנאי Setup Time.

הסבר: זמן Setup דורש שהמידע יהיה יציב לפני עליית השעון. מכיוון שהשינוי קרה ממש על עליית השעון השלישית, ייתכן שהוא לא הספיק להתייצב. לכן, הדלגלג דגם '0' בעליית השעון השלישית, ורק בעליית השעון הרביעית הוא הצליח לדגום את ה-'1'. העיכוב הראשוני הזה גורם לכל השרשרת להתאחר במחזור שלם.

ניתוח הבעיה והגדרת הרכיב

נתון רכיב לוגי בעל 4 כניסות ומוצא יחיד, המוגדר כרכיב $2 \ge$. פונקציית המעבר שלו היא: $Y = 1 \iff \sum_{i=0}^{3} x_i \ge 2$ כלומר, המוצא יהיה '1' אם לפחות שתיים מהכניסות פעילות. עלינו לממש פונקציה $F$ שתוציא '1' אם ורק אם לפחות שלוש כניסות מתוך ה-4 פעילות, תוך שימוש ברכיבים אלו בלבד ובקבועים לוגיים ('0').

אסטרטגיית הפתרון

כדי לזהות אם יש 3 כניסות פעילות מתוך $\{x_0, x_1, x_2, x_3\}$, עלינו לבדוק את כל תתי-הקבוצות בגודל 3. הביטוי הבוליאני עבור "3 מתוך 4" הוא: $Y_{out} = (x_0 x_1 x_2) \lor (x_0 x_2 x_3) \lor (x_0 x_1 x_3) \lor (x_1 x_2 x_3)$

נשתמש ברכיבי ה-$2 \ge$ כדי ליצור פונקציות ביניים של "זוגות" בתוך שלשות, ובסוף נשתמש ברכיב מסכם שיכריע לפי המצב של $x_3$ ושל שאר הכניסות.

פירוט שלבי המימוש

שלב 1: זיהוי זוגות בשלוש הכניסות הראשונות

נשתמש בשלושה רכיבים כדי לבדוק את כל הצירופים האפשריים של זוגות מתוך $\{x_0, x_1, x_2\}$. בכל אחד מהרכיבים נחבר כניסה אחת ל-'0' כדי להפוך אותו למעשה לגלאי "2 מתוך 3":

• רכיב א': כניסות $(0, x_0, x_1, 0)$. המוצא יהיה '1' אם $x_0=1$ וגם $x_1=1$.

• רכיב ב': כניסות $(0, x_2, x_0, 0)$. המוצא יהיה '1' אם $x_2=1$ וגם $x_0=1$.

• רכיב ג': כניסות $(0, x_2, x_1, 0)$. המוצא יהיה '1' אם $x_2=1$ וגם $x_1=1$.

שלב 2: רכיב הסיכום הסופי

הרכיב הרביעי מקבל את תוצאות הביניים ואת הכניסה הרביעית $x_3$:

• כניסות רכיב ד': $(x_3, \text{out\_A}, \text{out\_B}, \text{out\_C})$.

• לוגיקת המוצא: מכיוון שזהו רכיב $2 \ge$, הוא יוציא '1' אם לפחות שתיים מהכניסות שלו פעילות.

בדיקת נכונות (Verification)

נבחן את המקרים השונים כדי לוודא שהמימוש תקין:

מקרה 1: רק שתי כניסות פעילות (למשל $x_0=1, x_1=1$)

במצב זה, רק מוצא רכיב א' יהיה '1'. רכיב ב' ורכיב ג' יוציאו '0' (כי לכל אחד מהם יש רק כניסה אחת פעילה). כניסות רכיב ד' יהיו: $(x_3=0, 1, 0, 0)$. יש רק כניסה אחת פעילה $\rightarrow$ מוצא סופי 0. (תקין)

מקרה 2: שלוש כניסות פעילות ללא $x_3$ ($x_0, x_1, x_2 = 1$)

כל שלושת הרכיבים הראשונים יזהו זוג ויוציאו '1'. כניסות רכיב ד' יהיו: $(x_3=0, 1, 1, 1)$. יש שלוש כניסות פעילות $\rightarrow$ מוצא סופי 1. (תקין)

מקרה 3: שלוש כניסות פעילות כולל $x_3$ (למשל $x_0, x_1, x_3 = 1$)

רכיב א' יוציא '1' (מזהה $x_0, x_1$). רכיבים ב' וג' יוציאו '0'. כניסות רכיב ד' יהיו: $(x_3=1, 1, 0, 0)$. יש שתי כניסות פעילות $\rightarrow$ מוצא סופי 1. (תקין)

מסקנה

המימוש באמצעות 4 רכיבים מבטיח כיסוי מלא של כל שילוב אפשרי של 3 כניסות מתוך 4, תוך שימוש בתכונות הסף של הרכיב הנתון בלבד.

הגדרת המצבים והלוגיקה

בבעיות של חלוקה עם שארית, מספר המצבים המינימלי הנדרש במכונה תואם למספר השאריות האפשריות. בחלוקה ב-3, השאריות האפשריות הן $\{0, 1, 2\}$. לכן, נגדיר שלושה מצבים:

• מצב 0 (מצב התחלתי): המספר שנקרא עד כה משאיר שארית 0 בחלוקה ב-3.

• מצב 1: המספר שנקרא עד כה משאיר שארית 1 בחלוקה ב-3.

• מצב 2: המספר שנקרא עד כה משאיר שארית 2 בחלוקה ב-3.

חוקי המעברים (אריתמטיקה מודולרית)

כאשר אנו מוסיפים ביט חדש $x$ (0 או 1) לימין מספר קיים $V$, הערך החדש $V'$ מחושב כך: $V' = 2V + x$ לפיכך, השארית החדשה תהיה: $\text{New Remainder} = (2 \times \text{Old Remainder} + x) \pmod{3}$

ננתח את המעברים עבור כל מצב:

• ממצב 0 (שארית 0):

• קלט '0': $(2 \times 0 + 0) \pmod{3} = 0 \Rightarrow$ נשארים במצב 0.

• קלט '1': $(2 \times 0 + 1) \pmod{3} = 1 \Rightarrow$ עוברים למצב 1.

• ממצב 1 (שארית 1):

• קלט '0': $(2 \times 1 + 0) \pmod{3} = 2 \Rightarrow$ עוברים למצב 2.

• קלט '1': $(2 \times 1 + 1) \pmod{3} = 0 \Rightarrow$ עוברים למצב 0.

• ממצב 2 (שארית 2):

• קלט '0': $(2 \times 2 + 0) \pmod{3} = 4 \pmod{3} = 1 \Rightarrow$ עוברים למצב 1.

• קלט '1': $(2 \times 2 + 1) \pmod{3} = 5 \pmod{3} = 2 \Rightarrow$ נשארים במצב 2.

סיכום המכונה

• מצב מקבל: מצב 0 הוא המצב המקבל היחיד (הוצאה '1'), שכן הוא מייצג שארית 0.

• מצב התחלתי: נתחיל ממצב 0 (בהנחה שערך ריק שקול ל-0).